认知逻辑笔记3：知道逻辑系统及其性质【施工中】

性质 1.1 中我们曾给出过一些无法在所有世界上满足的认知公式，但是，这是否就说明这些公式没有任何意义呢？答案是否定的。显而易见， $\mathbf{K}$ 系统太过简单，对其进行进一步扩展是必要的，而此时这些认知公式就展现了它们的意义所在：成为某一系统的公理从而构造出更进一步的知道逻辑系统。我们引入如下公理：

$K_i\varphi\to\varphi$ .（A3）
$K_i\varphi\to K_iK_i\varphi$ .（A4）
$\neg K_i\varphi\to K_i\neg K_i\varphi$ .（A5）

A3 说的是，知道的事实为真；A4 和 A5 则分别表示“一个主体知道他知道某事”和“一个主体知道他不知道某事”. 在此基础上有如下系统：

$\mathbf{T}$ = $\mathbf{K}$ + A3.
$\mathbf{S_4}$ = $\mathbf{T}$ + A4.
$\mathbf{S_5}$ = $\mathbf{S_4}$ + A5.

实际上 A3 具有的合理性是相当自然的，很容易接受。在性质 1.1 的证明中曾提及，这句公式无法在所有世界被满足的原因之一是 $R_i$ 并不天然包含自反的可达关系，这在形式上是容易构造的，但是在现实中却是几乎不可能的：很难想象这样一个“对自己一无所知”的认知主体。这也意味着一个事实，就是公理系统并不一定对所有模型都适用。应该注意的是，构建模型也好，提炼公理也罢，都是以所要研究的对象为目标的。假使你有这样一个信念，认为自然界不可能自相矛盾（当然也是逻辑学的立身之本），那么无论是模型还是公理，只要来自于那个对象，它们之间总是契合的。举例来说，对正常人类进行知道逻辑的建模，模型不可能不包含自反的可达关系的，这就为 A3 公理的合理存在留下了充分的空间（注意此处不是一个严格的证明）。

另外 A4 实际上也相当自然， $\mathbf{S_4}$ 对于知识的表示是比较好的。A5 有争议，显然人们并不容易知道自己不知道的，不过由于这条公理在计算机科学中技术性质比较优良，因此 $\mathbf{S_5}$ 在计算机科学与人工智能中使用比较广泛。

既然提及自反性，那么接下来就引入 $R_i$ 的一些性质的定义：

定义 3.1 $S$ 是状态集， $R_i \subseteq S\times S$ 是可达关系，那么有：

$R_i$ 是自反的，如果 $\forall s\in S((s,s)\in R_i)$ .
$R_i$ 是传递的，如果 $\forall s,t,u\in S((s,t)\in R_i,(t,u)\in R_i\implies(s,u)\in R_i)$ .
$R_i$ 是对称的，如果 $\forall s,t\in S((s,t)\in R_i\implies(t,s)\in R_i)$ .
$R_i$ 是欧式的，如果 $\forall s,t,u\in S((s,t)\in R_i,(s,u)\in R_i\implies(t,u)\in R_i)$ .
$R_i$ 是序列的，如果 $\forall s\in S,\exists t\in S((s,t)\in R_i)$ .

这些性质之间存在关系，不难导出：

性质 3.1

$R_i$ 是对称和传递的 $\implies$ $R_i$ 是欧式的.
$R_i$ 是自反的 $\implies$ $R_i$ 是序列的.
$R_i$ 是对称、传递和序列的 $\iff$ $R_i$ 是自反和欧式的 $\iff$ $R_i$ 是满足等价关系的.

恰如先前对于 A3 做出的说明，实际上 A3 也的确依赖于自反性。如果一个模型 $\mathbb{M}$ 中的可达关系均有某种性质，那么就称 $\mathbb{M}$ 为满足某种性质的模型，于是导出如下定义：

定义 3.2

$\mathbb{M}_\mathbf{T}$ 为所有自反的 Kripke 模型类.
$\mathbb{M}_\mathbf{S_4}$ 为所有自反且传递的 Kripke 模型类.
$\mathbb{M}_\mathbf{S_5}$ 为所有满足等价关系的 Kripke 模型类.

之所以用 $\mathbf{T},\mathbf{S_4},\mathbf{S_5}$ 来标记这些模型类，是因为这三种模型类分别满足了 $\mathbf{T},\mathbf{S_4},\mathbf{S_5}$ 的公理，