认知逻辑笔记2：基本知道逻辑系统

在构建了关于知识的逻辑语言的基础之上，就需要构建基本的公理和规则，然后就形成所谓的系统。前述的关于知识的逻辑语言只是一种质料，要进行推演就必须要借助于系统，以

$\text{公理}\xrightarrow{\text{规则}}\text{定理A}\xrightarrow{\text{规则}}\text{定理B}\xrightarrow{\text{规则}}\cdots$

的方式进行运作. 若有某个系统 $\mathfrak{S}$，如果对于某一认知公式 $\varphi$，存在上述从公理出发的推导，那就称 $\varphi$ 是可证的，记为 $\mathfrak{S}\vdash\varphi$. 其中最基本的公理系统就是 $\mathbf{K}$ 系统，或者依照认知主体的个数不同称为 $\mathbf{K}_m$ 系统. 以下是 $\mathbf{K}$ 系统的公理：

1. 所有的命题重言式，也就是命题逻辑的公理.（A1）
2. $\mathbf{K}$ 公理：$(K_i\varphi\wedge K_i(\varphi\to\psi))\to K_i\psi$.（A2）

有两条规则：

1. 分离规则：$\frac{\varphi\space\varphi\to\psi}{\psi}$.（R1）
2. 必然化规则：$\frac{\vdash\varphi}{\vdash K_i\varphi}$.（R2）

其后所有的公理系统 $\mathfrak{S}$ 都包含 $\mathbf{K}$ 系统的公理和规则. 在详细叙述这一系统前这里我们先导入如下关于一致性的定义：

定义 2.1 当 $\mathfrak{S}\vdash\varphi$ 时：

1. 如果 $\mathfrak{S}\nvdash\neg\varphi$，就称 $\varphi$ 是一致的。
2. 如果 $\varphi_1\wedge\varphi_2\wedge\cdots\wedge\varphi_k$ 是一致的，则称有限集 $\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_k\}$ 是一致的。
3. 如果认知公式无限集 $\Phi$ 的任意有限子集是一致的，那么 $\Phi$ 是一致的.
4. $\Phi$ 是一致的且对于任意认知公式 $\psi\notin\Phi$，$\Phi\cup\{\psi\}$ 不是一致的，那么就称 $\Phi$ 为最大一致的。

于是在某个认知公式的公理系统中，应用一致性定义有如下引理：

引理 2.1

1. 每个一致的公式集能扩展为最大一致公式集。
2. 设 $\Phi$ 为一个最大一致公式集，那么对于所有 $\varphi,\psi$ 有：
   1. 要么 $\varphi\in\Phi$，要么 $\neg\varphi\in\Phi$.
   2. $\varphi\wedge\psi\in\Phi\iff\varphi\in\Phi, \psi\in\Phi$.
   3. 如果 $\varphi\in\Phi$ 且 $\varphi\to\psi$ 则 $\psi\in\Phi$.
   4. 记该公理系统为 $\mathfrak{S}$，如果 $\mathfrak{S}\vdash\varphi$，则 $\varphi\in\Phi$.

借助于上述一致性的定义，可以给出典范 Kripke 模型的定义：

定义 2.2 典范 Kripke 模型定义为：$\mathbb{M}^c=\langle S^c,\pi^c,\{R_1^c,R_2^c,\cdots,R_m^c\}\rangle$.

1. 注意到 $\mathbb{M}$ 中的最大一致公式集并不唯一，将每个最大一致公式集看作是一个状态，因此 $S^c$ 就定义为所有这些状态的集合。记 $\Theta$ 为其中某个最大一致公式集，对应的状态称之为 $s_\Theta$.
2. $\pi^c_{s_\Theta}(p)=\begin{cases} \top, & p\in\Theta \\ \bot, & p\notin\Theta \end{cases}$
3. 定义 $\Theta/K_i=\{\varphi|K_i\varphi\in\Theta\}$. 于是定义 $R_i^c=\{(s_\Theta,s_\Psi)|\Theta/K_i\subseteq\Psi\}$，其等价定义为 $\forall\varphi:K_i\varphi\in\Theta\Rightarrow\varphi\in\Psi$.

引理 2.2 对于任意最大一致公式集 $\Theta$ 有 $\forall\varphi:(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\varphi\iff\varphi\in\Theta$.

证明

1. 如果 $\varphi\in\mathbf{P}$，也就是说 $\varphi$ 是原子命题，由于 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\varphi$，所以 $\pi^c_{s_\Theta}(\varphi)=\top$，即，$\varphi\in\Theta$.
2. 如果 $\varphi=\varphi_1\wedge\varphi_2$，据 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\varphi_1\wedge\varphi_2$ 有 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\varphi_1,(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\varphi_2$，显然有 $\varphi_1\in\Theta,\varphi_2\in\Theta$，再根据引理 2.1.2 即得 $\varphi_1\wedge\varphi_2\in\Theta$.
3. 如果 $\varphi=\neg\psi$，同理有 $\neg\psi\in\Theta$.
4. 如果 $\varphi=K_i\psi$：
   1. （$\Leftarrow$）由于 $K_i\psi\in\Theta$，按照定义有 $\psi\in\Theta/K_i$. 按照定义，$(s_\Theta,s_\Psi)\in R_i^c$，于是就有 $\psi\in\Theta/K_i\subseteq\Psi$，所以 $(\mathbb{M}^c,s_\Psi)\vDash\psi$. 也就是说，任何可达关系 $(s_\Theta,s_\Psi)\in R_i^c$ 都能导出 $(\mathbb{M}^c,s_\Psi)\vDash\psi$，于是就有 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash K_i\psi$.
   2. （$\Rightarrow$）假设 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash K_i\psi$. 可以声称 $(\Theta/K_i)\cup\{\neg\psi\}$ 不是一致的. 假若一致，那么根据引理 2.1 就存在一个最大一致扩展集 $\Psi$，由于 $\Theta/K_i\subseteq(\Theta/K_i)\cup\{\neg\psi\}\subseteq\Psi$，显然 $\neg\psi\in\Psi$. 有 $(\mathbb{M}^c,s_\Psi)\vDash\neg\psi$，由于 $(s_\Theta,s_\Psi)\in R_i^c$，于是根据定义 2.2 有 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash\neg K_i\psi$，这显然和声称矛盾. 那么，取 $(\mathbb{M}^c,s_\Theta)\vDash K_i\psi$ 的某个非一致子集 $\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_k,\neg\psi\}$ 就有 $\vdash\neg(\varphi_1\wedge\varphi_2\wedge\cdots\wedge\varphi_k\wedge\neg\psi)$. 这意味着

      $\vdash\varphi_1\to(\varphi_2\to(\cdots(\varphi_k\to\psi)\cdots))$

      根据必然化规则，可以导出：

      $\vdash K_i(\varphi_1\to(\varphi_2\to(\cdots(\varphi_k\to\psi)\cdots)))$

      根据引理 2.1 有：

      $K_i(\varphi_1\to(\varphi_2\to(\cdots(\varphi_k\to\psi)\cdots)))\in\Theta$

      由于 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_k\in\Theta/K_i$，那么显然有

      $K_i\varphi_1,K_i\varphi_2,\cdots,K_i\varphi_k\in\Theta$

      记 $\xi=\varphi_2\to(\cdots(\varphi_k\to\psi)\cdots)$ 根据 $\mathbf{K}$ 公理有：

      $\vdash K_i\varphi_1\to(K_i(\varphi_1\to\xi)\to K_i\xi)$

      由于 $\Theta$ 包含所有定理，就有：

      $K_i\varphi_1\to(K_i(\varphi_1\to\xi)\to K_i\xi)\in\Theta$

      最大一致公式集按照定义对蕴含封闭，于是导出 $K_i\xi\in\Theta$，递归证明可得 $K_i\psi\in\Theta$.

回顾最开始提及的 $\mathbf{K}$ 系统. $\mathbf{K}$ 公理表示，任何一个认知主体的知识在经典逻辑推论中是封闭的，这是相当自然的，而且在性质 1.1 中也已证明. 至于必然化规则，这个规则是从一个有效公式到另一个有效公式的推导，即若 $\vDash\varphi$ 则 $\vDash K_i\varphi$，这是成立的。但是，如果按照在命题逻辑中推导的习惯导出 $\vDash\varphi\to K_i\varphi$ 则是不成立的。

为什么我们会下意识觉得这种推导成立？这是因为我们往往会有这样一个推导概念，即 $\varphi\vdash\psi\iff\vDash\varphi\to\psi$，这在命题逻辑中是成立的，然而正如我们在性质 1.1 中所证明的，这在认知逻辑中不成立，这是因为认知逻辑引入的可能世界使得原来的“一知俱知”的假设被打破了. 的确，目前我们构建的系统仍然非常理想，我们假设每个认知主体都能瞬间完成证明，知道自己应该知道的，但无论如何，可能世界都给出了一定的限制，这种限制就在必然化规则中表现出来.

应该注意到，$\varphi$ 的真值是在某一世界上的，而 $K_i\varphi$ 的真值则依赖所有可能世界上 $\varphi$ 的真值，存在显著的信息不对等，而依据推演的基本性质，推演从不产生整个推演链条开端的那个公理集之外的新的知识，$\vDash\varphi\to K_i\varphi$ 也就因此不可能成立. 从 $\vDash\varphi$ 推出 $\vDash K_i\varphi$ 显然满足了信息对等的基本要求，另外将必然化规则表达为从 $\vdash\varphi$ 推出 $\vdash K_i\varphi$ 也是可以的——在同一公理系统中，$K_i\varphi$ 显然没有要求更多的知识了.

随即我们要再引入如下定义：

定义 2.3 假设 $\mathfrak{S}$ 是一个认知公式的公理系统，$\mathcal{M}$ 是一类 Kripke 模型：

1. 如果 $\mathfrak{S}\vdash\varphi\implies \mathcal{M}\vDash\varphi$，就称 $\mathfrak{S}$ 对于 $\mathcal{M}$ 是可靠的.
2. 如果 $\mathcal{M}\vDash\varphi\implies \mathfrak{S}\vdash\varphi$，则称 $\mathfrak{S}$ 对于 $\mathcal{M}$ 是完备的.

设公共的认知主体集为 $A$，所有定义在此认知主体集上的 Kripke 模型构成的类为 $\mathcal{K}^A$，可以证明 $\mathbf{K}^A$ 系统对于 $\mathcal{K}^A$ 是可靠且完备的。

可靠性几乎是显然的，而对于完备性，$\mathcal{K}^A\vDash\varphi\implies \mathbf{K}_m\vdash\varphi$ 可以化为 $\mathbf{K}^A\nvdash\neg\varphi\implies\exist w\vDash\varphi$，显然前者表示一致公式，也就是说只要一致公式都能在 $\mathcal{K}^A$ 中找到一个世界得到满足，完备性就得证了. 对此命题进行加强，只要所有一致公式集可满足即可. 依据引理 2.1，将这些一致公式集扩展为最大一致公式集，于是就可以借典范 Kripke 模型解决. 取这些最大一致公式集构造典范 Kripke 模型，依据引理 2.2，这些一致公式都可满足。于是显然就有如下定理：

定理 2.1 设 $\Theta$ 是一个认知公式集，那么 $\Theta$ 是一致的 $\iff$ $\Theta$ 是可满足的.