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认知逻辑笔记1：知识的逻辑语言与语义
Yi Fan
  2024-08-30 21:27:16   2024-09-11 00:45:53  

首先我们引入一种关于知识的逻辑语言：PP 是一个无限或者有限的原子命题集：P={pn∣n∈N}P=\{p_n|n\in\N\} 或者 P={p0,p1,⋯ ,pn−1}P=\{p_0,p_1,\cdots,p_{n-1}\}. AA 是一个认知主体集合：A={1,2,⋯ ,m}A=\{1,2,\cdots,m\}. 于是可以导出：

定义 1.1 关于逻辑语言 LKA(P)\mathscr{L}_ K^A( P) 有如下定义：

  1. 如果 p∈Pp\in P，那么 p∈LKm(P)p\in\mathscr{L}_ K^m( P).
  2. 如果 φ,ψ∈LKA(P)\varphi,\psi\in\mathscr{L}_ K^A( P)，那么 (φ∧ψ),¬φ∈LKA(P)(\varphi\wedge\psi),\neg\varphi\in\mathscr{L}_ K^A( P).
  3. 如果 φ∈LKA(P)\varphi\in\mathscr{L}_ K^A( P)，那么 ∀i∈A(Kiφ∈LKA(P))\forall i\in A(K_i \varphi\in\mathscr{L}_ K^A( P)).

第一条定义说明的是，所有原子命题都是该语言的公式. 第二条定义说明的是，该语言对合取运算和否定运算封闭. 第三条定义中，KiφK_i \varphi 表示“主体 ii 知道 φ\varphi”，该语言还对这个新引入的算子封闭.

既然析取与蕴含都可以用合取与否定来表示，那么上面定义的语言显然对这两种运算也是封闭的. 析取与合取是对偶运算，析取可表示为 ¬∧¬\neg\wedge\neg，类似地，KK 也有对偶运算 MM，MiφM_i \varphi 表示“主体 ii 认为 φ\varphi 可能”. 假设一个公式不涉及 KK 或者 MM，那么这就是一个客观公式，客观公式的集合表示为 L0(P)\mathscr{L}_0( P). LKA(P)\mathscr{L}_ K^A( P) 有时可以简写为 LKA\mathscr{L}_ K^A，同样 L0(P)\mathscr{L}_0(P) 可以简写为 L0\mathscr{L}_0.

但是这一语言定义还不能解决 KK 算子如何参与演算的问题，为此我们还需引入 Kripke 模型：

定义 1.2 一个 Kripke 模型 M\mathbb{M} 是一个元组 ⟨S,π,{R1,R2,⋯ ,Rm}⟩\langle S,\pi, \{R_1,R_2,\cdots,R_m\}\rangle，其中：

  1. SS 是一个表示状态的非空集合. 每个状态均包含一个公式集.
  2. π\pi 是一个函数，为每个状态中的原子命题赋真值.
  3. Ri⊆S×SR_i \subseteq S\times S 是对主体 ii 来说从某一状态到另一状态的可达关系的集合.

进一步定义是，一个 Kripke 世界 ww 由一个 Kripke 模型 M\mathbb{M} 和一个确定的状态 s∈Ss\in S 组成，记为 w=(M,s)w=(\mathbb{M},s). 如果存在一个可达关系 (s,t)∈Ri(s,t)\in R_i，那么世界 (M,t)(\mathbb{M},t) 对于主体 ii 来说就是一个可能世界.

由于 π\pi 函数的存在，公式和世界就存在关联，这一关联就是 w⊨φw\vDash\varphi，其含义就是 φ\varphi 在 ww 中为真，或者说 φ\varphi 满足了 ww. 我们可以导出

定义 1.3

  1. (M,s)⊨p  ⟺  p∈P,πs(p)=⊤(\mathbb{M},s)\vDash p \iff p\in P,\pi_s(p)=\top.
  2. (M,s)⊨φ∧ψ  ⟺  (M,s)⊨φ,(M,s)⊨ψ(\mathbb{M},s)\vDash\varphi\wedge\psi \iff (\mathbb{M},s)\vDash\varphi,(\mathbb{M},s)\vDash\psi.
  3. (M,s)⊨¬φ  ⟺  (M,s)⊭φ(\mathbb{M},s)\vDash\neg\varphi\iff (\mathbb{M},s)\nvDash\varphi.
  4. (M,s)⊨Kiφ  ⟺  ∀(s,t)∈Ri((M,t)⊨φ)(\mathbb{M},s)\vDash K_i\varphi\iff\forall(s,t)\in R_i((\mathbb{M},t)\vDash\varphi).

其中的记号 ⊤\top 表示真，相对的 ⊥\bot 表示假.

定义 1.4

  1. M⊨φ\mathbb{M}\vDash\varphi，意思是 M\mathbb{M} 的任何状态都能够满足.
  2. ⊨φ\vDash\varphi，意思是对于任意 M\mathbb{M} 都有 M⊨φ\mathbb{M}\vDash\varphi.
  3. 称 φ\varphi 是可满足的如果存在 w⊨φw\vDash\varphi.

可以列出以下几个性质：

性质 1.1

  1. 如果 φ\varphi 是命题重言式，那么 ⊨φ\vDash\varphi.
  2. ⊨(Kiφ∧Ki(φ→ψ))→Kiψ\vDash(K_i\varphi\wedge K_i(\varphi\to\psi))\to K_i\psi.
  3. 如果 ⊨φ\vDash\varphi 并且 ⊨φ→ψ\vDash\varphi\to\psi，有 ⊨ψ\vDash\psi.
  4. 如果 ⊨φ\vDash\varphi 那么 ⊨Kiφ\vDash K_i\varphi.
  5. ⊭φ→Kiφ\nvDash\varphi\to K_i\varphi.
  6. ⊭Kiφ→φ\nvDash K_i\varphi\to\varphi.
  7. ⊭Kiφ→KiKiφ\nvDash K_i\varphi\to K_iK_i\varphi.

下面针对每一条进行说明：

  1. 既然 φ\varphi 是命题重言式，那么，对于任意一个世界来说，πs(φ)=⊤\pi_s(\varphi)=\top. 这是因为，如果将公式 KiφK_i\varphi 当作原子命题来对待，使得 KiφK_i\varphi 的真值仅由 π\pi 函数来决定，那么其就抽象为经典命题逻辑. 而由于这种抽象并不改变实际的真值（因为只是将一部分运算过程封装到了 π\pi 函数中），因而可以导出 φ\varphi 为真，即 ⊨φ\vDash\varphi.
  2. (Kiφ∧Ki(φ→ψ))→Kiψ(K_i\varphi\wedge K_i(\varphi\to\psi))\to K_i\psi 是一个重言式（如果依照 1 那样抽象为经典命题逻辑的话）. 回顾 KK 算子的定义，它需要它所作用的公式在任何可能世界上为真才为真. 若 KiφK_i\varphi 和 Ki(φ→ψ)K_i(\varphi\to\psi) 都为真，显然在所有可能世界上有 φ,(φ→ψ)=⊤\varphi,(\varphi\to\psi)=\top，所以 Kiψ=⊤K_i\psi=\top. 若 KiφK_i\varphi 和 Ki(φ→ψ)K_i(\varphi\to\psi) 至少有一个为假，显然 (Kiφ∧Ki(φ→ψ))→Kiψ(K_i\varphi\wedge K_i(\varphi\to\psi))\to K_i\psi 为真. 因此，这是一个重言式，依 1 中定义，有 ⊨(Kiφ∧Ki(φ→ψ))→Kiψ\vDash(K_i\varphi\wedge K_i(\varphi\to\psi))\to K_i\psi.
  3. 这是基本的三段论.
  4. 只需考虑 KK 算子的定义就可以发现，既然 ⊨φ\vDash\varphi，那么 φ=⊤\varphi=\top 对任意世界都成立. 考虑某个世界以及其所有可能世界，显然在这个世界上 Kiφ=⊤K_i\varphi=\top，因此 ⊨Kiφ\vDash K_i\varphi.
  5. 设想某个世界 ww 和这个世界的一个可达世界 w0w_0 满足 w⊨φw\vDash\varphi 且 w0⊭φw_0\nvDash\varphi，显然，对于 ww 来说，φ→Kiφ=⊥\varphi\to K_i\varphi=\bot，即 w⊭φ→Kiφw\nvDash\varphi\to K_i\varphi，故 ⊭φ→Kiφ\nvDash\varphi\to K_i\varphi.
  6. 这或许看起来很奇怪，但同样是可以证明的. 回顾 KK 算子的定义就能发现，它所要求的所有可能世界不包括自身，而 RiR_i 也并不天然包含具有自反性的诸如 (s,s)(s,s) 的可达关系. 因此不难构造某个世界 ww 和这个世界的一个可达世界 w0w_0，满足 w⊭φw\nvDash\varphi 且 w0⊨φw_0\vDash\varphi. 所以，按照定义，w⊨Kiφw\vDash K_i\varphi，于是 w⊭Kiφ→φw\nvDash K_i\varphi\to\varphi，故 ⊭Kiφ→φ\nvDash K_i\varphi\to\varphi.
  7. 构造可能世界 w0,w1,w2w_0, w_1, w_2，定义可达关系 Ri={(w0,w1),(w1,w2),(w2,w0)}R_i=\{(w_0, w_1),(w_1,w_2),(w_2,w_0)\}（三个可能世界均定义在同一个模型上，仅有状态不同，因而此处将可达关系简记为可能世界的数对），同时 w0⊨φ,w1⊨φ,w2⊭φw_0\vDash\varphi,w_1\vDash\varphi,w_2\nvDash\varphi，根据定义，w0⊨Kiφ,w1⊭Kiφw_0\vDash K_i\varphi, w_1\nvDash K_i\varphi，因此 w0⊭KiKiφw_0\nvDash K_iK_i\varphi，故 ⊭Kiφ→KiKiφ\nvDash K_i\varphi\to K_iK_i\varphi.