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《线性代数入门》解题笔记 1.3
Yi Fan
  2024-02-07 11:58:16   2024-02-17 23:57:28  

《线性代数入门》，梁鑫等编著，清华大学出版社，2022 年.

1 线性映射和矩阵

1.3 线性方程组

1.3.1

  1. [123456789101112131415]→倍加变换[123450−5−10−15−200−10−20−30−40]→倍乘变换[123450123401234]→倍加变换[10−1−2−30123400000]\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&-5&-10&-15&-20\\0&-10&-20&-30&-40\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&1&2&3&4\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&0&-1&-2&-3\\0&1&2&3&4\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}. 第一列是主列.
  2. [123450789101112131415]→倍加变换[123450789100−10−20−30−40]→倍乘变换[1234507891001234]→对换变换[1234501234078910]→倍加变换[10−1−2−3012340061218]→倍乘变换[10−1−2−30123400123]→倍加变换[10000010−1−200123]\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&7&8&9&10\\0&-10&-20&-30&-40\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&7&8&9&10\\0&1&2&3&4\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{对换变换}}\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&7&8&9&10\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&0&-1&-2&-3\\0&1&2&3&4\\0&0&6&12&18\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}1&0&-1&-2&-3\\0&1&2&3&4\\0&0&1&2&3\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&-1&-2\\0&0&1&2&3\end{bmatrix}. 第二列是主列.
  3. 行简化结果为 [100−78−7401034320019854]\begin{bmatrix}1&0&0&-\cfrac{7}{8}&-\cfrac{7}{4}\\0&1&0&\cfrac{3}{4}&\cfrac{3}{2}\\0&0&1&\cfrac{9}{8}&\cfrac{5}{4}\end{bmatrix}. 第三列是主列.
  4. 行简化结果为 [10−10−790120230001109]\begin{bmatrix}1&0&-1&0&-\cfrac{7}{9}\\0&1&2&0&\cfrac{2}{3}\\0&0&0&1&\cfrac{10}{9}\end{bmatrix}. 第四列是主列.
  5. 行简化结果为 [10−1−200123000001]\begin{bmatrix}1&0&-1&-2&0\\0&1&2&3&0\\0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}. 第五列是主列.

1.3.2

  1. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [123011]\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\end{bmatrix}，解得 x=1,y=1x=1,y=1.
  2. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [13500120]\begin{bmatrix}1&3&5&0\\0&1&2&0\end{bmatrix}，解得 x=z,y=−2zx=z,y=-2z.
  3. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [100010000]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=0,y=0x=0,y=0.
  4. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [121023001]\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&3\\0&0&1\end{bmatrix}，注意到第三行出现方程 0=10=1，故此方程组无解.
  5. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [10100110]\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}，解得 x=y=−zx=y=-z.
  6. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [120010000]\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=0,y=0x=0,y=0.
  7. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [120010001]\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}，注意到第三行出现方程 0=10=1，故此方程组无解.
  8. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [1−1200001−2300001−34000014]\begin{bmatrix}1&-\cfrac{1}{2}&0&0&0\\0&1&-\cfrac{2}{3}&0&0\\0&0&1&-\cfrac{3}{4}&0\\0&0&0&1&4\end{bmatrix}，解得 x=1,y=2,z=3,t=4x=1,y=2,z=3,t=4.
  9. 构造增广矩阵，化为阶梯形并适当简化有 [11200001230000134000014]\begin{bmatrix}1&\cfrac{1}{2}&0&0&0\\0&1&\cfrac{2}{3}&0&0\\0&0&1&\cfrac{3}{4}&0\\0&0&0&1&4\end{bmatrix}，解得 x=−1,y=2,z=−3,t=4x=-1,y=2,z=-3,t=4.

1.3.3

由 1.3.1.1 中的化简结果 [10−1−2−30123400000]\begin{bmatrix}1&0&-1&-2&-3\\0&1&2&3&4\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}：

  1. 即解方程组 [12671112]x=[3813]\begin{bmatrix}1&2\\6&7\\11&12\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3\\8\\13\end{bmatrix}. 不难构造增广矩阵，由化简结果有 [10−1012000]\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=[−12]\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}，即 [3813]=−[1611]+2[2712]\begin{bmatrix}3\\8\\13\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}1\\6\\11\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\7\\12\end{bmatrix}.
  2. 类似地构造增广矩阵，由化简结果有 [10−2013000]\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=[−23]\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}，即 [4914]=−2[1611]+3[2712]\begin{bmatrix}4\\9\\14\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}1\\6\\11\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\\7\\12\end{bmatrix}.
  3. 类似地构造增广矩阵，由化简结果有 [10−3014000]\begin{bmatrix}1&0&-3\\0&1&4\\0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=[−34]\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}，即 [51015]=−3[1611]+4[2712]\begin{bmatrix}5\\10\\15\end{bmatrix}=-3\begin{bmatrix}1\\6\\11\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}2\\7\\12\end{bmatrix}.

1.3.4

证明 先证充分性. 不妨构造一个增广矩阵 [a11a120a21a220]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\ a_{21}&a_{22}&0\end{bmatrix}，[a11a120a21a220]→倍乘变换[1a12a110a21a220]→倍加变换[1a12a1100a22−a21a12a110]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\ a_{21}&a_{22}&0\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}1&\cfrac{a_{12}}{a_{11}}&0\\ a_{21}&a_{22}&0\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&\cfrac{a_{12}}{a_{11}}&0\\0&a_{22}-\cfrac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}&0\end{bmatrix}，据第一行可知如果存在非零解，那么 x1,x2≠0x_1,x_2\not = 0，既然 x2≠0x_2\not ={0}，那么 a22−a21a12a11=0a_{22}-\cfrac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}=0，即 a11a22−a12a21=0a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0. 再证必要性. 可以解得 x1=−a12a11x2x_1=-\cfrac{a_{12}}{a_{11}}x_2，而 x2x_2 可以为任意值，其中必有非零解.

1.3.5

  1. 构造增广矩阵 [1233b7]\begin{bmatrix}1&2&3\\3&b&7\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [1230b−6−2]\begin{bmatrix}1&2&3\\0&b-6&-2\end{bmatrix}，显然只要令 b=6b=6 则方程组无解.
  2. 构造增广矩阵 [321064c]\begin{bmatrix}3&2&10\\6&4&c\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [321000c−20]\begin{bmatrix}3&2&10\\0&0&c-20\end{bmatrix}，显然只要使 c≠20c\not ={20} 则方程组无解.
  3. 构造增广矩阵 [25104b1201−13]\begin{bmatrix}2&5&1&0\\4&b&1&2\\0&1&-1&3\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [251001−130b−110−1]\begin{bmatrix}2&5&1&0\\0&1&-1&3\\0&b-11&0&-1\end{bmatrix}，显然只要令 b=11b=11 则方程组无解.
  4. 构造增广矩阵 [b363b−6]\begin{bmatrix}b&3&6\\3&b&-6\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [1b3−203−b236−2b]\begin{bmatrix}1&\cfrac{b}{3}&-2\\0&3-\cfrac{b^2}{3}&6-2b\end{bmatrix}，显然只要令 3−b23=6−2b=03-\cfrac{b^2}{3}=6-2b=0 则方程组有无穷多解，解方程可得 b=−3b=-3.
  5. 构造增广矩阵 [2b1648c]\begin{bmatrix}2&b&16\\4&8&c\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [2b1608−2bc−32]\begin{bmatrix}2&b&16\\0&8-2b&c-32\end{bmatrix}，显然只要令 8−2b=c−32=08-2b=c-32=0 则方程组有无穷多解，解方程可得 b=4,c=32b=4,c=32.
  6. 构造增广矩阵 [1b001−2−100110]\begin{bmatrix}1&b&0&0\\1&-2&-1&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [1b00011b+20001−1b+20]\begin{bmatrix}1&b&0&0\\0&1&\cfrac{1}{b+2}&0\\0&0&1-\cfrac{1}{b+2}&0\end{bmatrix}，要使这个方程组有非零解，只需使 zz 有非零解，即 1−1b+2=01-\cfrac{1}{b+2}=0，解得 b=−1b=-1.
  7. 构造增广矩阵 [b230bb40bbb0]\begin{bmatrix}b&2&3&0\\ b&b&4&0 \\ b&b&b&0\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [b2300b−21000b−40]\begin{bmatrix}b&2&3&0\\ 0&b-2&1&0 \\ 0&0&b-4&0\end{bmatrix}，要使这个方程组有非零解，只需使 x,y,zx,y,z 的其中一个有非零解，分别解方程 b=0,b−2=0,b−4=0b=0,b-2=0,b-4=0，解得 b=0,2,4b=0,2,4.

1.3.6

不妨构造增广矩阵 [2110a0−10−1030]\begin{bmatrix}2&1&1&0\\ a&0&-1&0\\-1&0&3&0\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [−10300170003−1a0]\begin{bmatrix}-1&0&3&0\\0&1&7&0\\0&0&3-\cfrac{1}{a}&0\end{bmatrix}，要使这个方程组有非零解，只需令 3−1a=03-\cfrac{1}{a}=0，解得 a=13a=\cfrac{1}{3}. 解原方程组可得 x1=3x3,x2=−7x3x_1=3x_3,x_2=-7x_3.

1.3.7

不妨构造增广矩阵 [p1111p1p11pp2]\begin{bmatrix}p&1&1&1\\1&p&1&p\\1&1&p&p^2\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [11pp201−pp−1p(p−1)00(p+2)(1−p)(p+1)2(1−p)]\begin{bmatrix}1&1&p&p^2\\0&1-p&p-1&p(p-1)\\0&0&(p+2)(1-p)&(p+1)^2(1-p)\end{bmatrix}. 若方程组无解，即 (p+2)(1−p)=0(p+2)(1-p)=0 且 (p+1)2(1−p)≠0(p+1)^2(1-p)\not ={0}，解得 p=−2p=-2，而当 p=1p=1 时，(p+2)(1−p)=(p+1)2(1−p)=0(p+2)(1-p)=(p+1)^2(1-p)=0，此时方程有无穷多组解. 对于 p≠−2,1p\not ={-2,1}，有通解 x1=p2−p−(p+1)2p+2−p(p+1)2p+2,x2=p+(p+1)2p+2,x3=(p+1)2p+2x_1=p^2-p-\cfrac{(p+1)^2}{p+2}-\cfrac{p(p+1)^2}{p+2},x_2=p+\cfrac{(p+1)^2}{p+2},x_3=\cfrac{(p+1)^2}{p+2}.

1.3.8

  1. 证明 构造增广矩阵 [110b1−101b20−1−1b3]\begin{bmatrix}1&1&0&b_1\\-1&0&1&b_2\\0&-1&-1&b_3\end{bmatrix}，化成阶梯形有 [110b1011b1+b2000b1+b2+b3]\begin{bmatrix}1&1&0&b_1\\0&1&1&b_1+b_2\\0&0&0&b_1+b_2+b_3\end{bmatrix}. 根据第三个方程，如果方程组有解，等价于 b1+b2+b3=0b_1+b_2+b_3=0.
  2. 证明 利用第 1 小题结论，得到增广矩阵 [110001100000]\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}，解得 x=z,y=−zx=z,y=-z. 令 z=kz=k，则解可以表示为 [k−kk]\begin{bmatrix}k\\-k\\ k\end{bmatrix}，于是方程组的解集就是 {kx1∣x1=[1−11],k∈R}\{kx_1|x_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix},k\in\R\}.
  3. 证明 不难得 Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} 通解为 x=z−b2,y=−z−b3x=z-b_2,y=-z-b_3. 令 z=tz=t，那么解可以表示为 [t−b2−t−b3t]\begin{bmatrix}t-b_2\\-t-b_3\\ t\end{bmatrix}. 对于方程组的另一个解，不妨设 z=t′z=t'，那么解为 [t′−b2−t′−b3t′]\begin{bmatrix}t'-b_2\\-t'-b_3\\ t'\end{bmatrix}，考虑 Δ=t′−t\Delta=t'-t，有 [t′−b2−t′−b3t′]=[t+Δ−b2−t−Δ−b3t+Δ]=[t−b2−t−b3t]+Δ[1−11]\begin{bmatrix}t'-b_2\\-t'-b_3\\ t'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t+\Delta-b_2\\-t-\Delta-b_3\\ t+\Delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t-b_2\\-t-b_3\\ t\end{bmatrix}+\Delta\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}，于是方程的解集就可以表示为 {x0+kx1∣x1=[1−11],k∈R}\{x_0+kx_1|x_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix},k\in\R\}.

1.3.9

令 c=0,d=0c=0,d=0，有 Ax=A[200]=2[a11a21a31]=[242]A\boldsymbol{x}=A\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}，容易知道 [a11a21a31]=[121]\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}. 再令 c=−2,d=0c=-2,d=0，有 Ax=A[0−20]=−2[a12a22a32]=[242]A\boldsymbol{x}=A\begin{bmatrix}0\\-2\\0\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}，可得 [a12a22a32]=[−1−2−1]\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\end{bmatrix}. 再令 c=−1,d=1c=-1,d=1，有 Ax=A[1−11]=[a11a21a31]−[a12a22a32]+[a13a23a33]=[121]−[−1−2−1]+[a13a23a33]=[242]A\boldsymbol{x}=A\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}，得到 [a13a23a33]=0\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{bmatrix}=\boldsymbol{0}. 综上，A=[1−102−201−10]A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\2&-2&0\\1&-1&0\end{bmatrix}.

1.3.10

  1. 构造 [123481271421]\begin{bmatrix}1&2&3\\4&8&12\\7&14&21\end{bmatrix} 即可.

  2. 构造如下矩阵：对于 aija_{ij}，如果 i>ji>j，那么 aij=ja_{ij}=j；如果 i⩽ji\leqslant j，那么 aij=ia_{ij}=i；最后一行是例外情况，所有元素都是 1.

    Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} 的解集为 {[0⋮0k]∣k∈R}\{\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\k\end{bmatrix}|k\in\R\}.

1.3.11

  1. 假如 AA 的第 ii 行叫做 aia_i，那么就有如下线性组合：k1a1+k2a2+⋯+k100a100k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_{100}a_{100}，其中 k∈Rk\in\R.
  2. 假如 AA 的第 jj 列叫做 aja_j，那么就有如下线性组合：k1a1+k2a2+⋯+k100a100k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_{100}a_{100}，其中 k∈Rk\in\R.
  3. 注意到增广矩阵是方程组的转写。对于任意非零行，总能将其主元对应的未知量表示为常数或者其他未知量的表达式，从而使得有且仅有一个变量成为约束变量. 因此，约束变量数等于非零行数. 注意到 AA 是方阵，有总变量数等于总行数. 因此有总变量数减去约束变量数等于总行数减去非零行数，即零行个数等于自由变量个数.

1.3.12

  1. [1100121001210012]→倍加变换[1100011001210012]→倍加变换[1100011000110012]→倍加变换[1100011000110001]\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&1&2\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}.
  2. 容易用类似方法化为 [1120001230001340001]\begin{bmatrix}1&\cfrac{1}{2}&0&0\\0&1&\cfrac{2}{3}&0\\0&0&1&\cfrac{3}{4}\\0&0&0&1\end{bmatrix}.
  3. 容易用类似方法化为 [1−120001−230001−340001]\begin{bmatrix}1&-\cfrac{1}{2}&0&0\\0&1&-\cfrac{2}{3}&0\\0&0&1&-\cfrac{3}{4}\\0&0&0&1\end{bmatrix}.

这些三对角矩阵化为阶梯形后，其主元总是主对角线上的元素，且除主元及其右上方相邻元素外其余元素都是零.（说实话，我没看懂这题想让我分析出什么关于主元的规律）

1.3.13

构造增广矩阵 [10⋯010110⋯00110⋱⋱⋮⋮⋮⋱⋱1100⋯0110]\begin{bmatrix}1&0&&\cdots&&0&1&0\\1&1&0&&\cdots&&0&\\0&1&1&0&&&\\&&\ddots&\ddots&&&\vdots&\vdots\\\vdots&&&\ddots&\ddots&&\\&&&&1&1&0\\0&&\cdots&&0&1&1&0\end{bmatrix}. 化为阶梯形有 [10⋯010010⋯−10101⋱⋱⋮⋮⋮⋱⋱(−1)n−101(−1)n0⋯01−(−1)n0]\begin{bmatrix}1&0&&\cdots&&0&1&0\\0&1&0&&\cdots&&-1&\\&0&1&0&&&1\\&&\ddots&\ddots&&&\vdots&\vdots\\\vdots&&&\ddots&\ddots&&(-1)^{n-1}\\&&&&0&1&(-1)^{n}\\0&&\cdots&&&0&1-(-1)^{n}&0\end{bmatrix}. 分类讨论：如果 n≡0(mod2)n\equiv 0 \pmod {2}，那么 x1=x2=⋯=xn=0x_1=x_2=\cdots=x_n=0；如果 n≢0(mod2)n\not\equiv 0 \pmod {2}，那么 x1=x3=⋯=xn=2,x2=x4=⋯=xn−1=−2x_1=x_3=\cdots=x_n=2,x_2=x_4=\cdots=x_{n-1}=-2.

1.3.14

证明 可以这样构造：[aTbT]→倍加变换[aTaT+bT]→倍乘变换[2aTaT+bT]→倍加变换[aT−bTaT+bT]→倍加变换[aT−bT2aT]→倍乘变换[aT−bTaT]→倍加变换[−bTaT]→倍乘变换[bTaT]\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}^T\\\boldsymbol{b}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}^T\\\boldsymbol{a}^T+\boldsymbol{b}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}2\boldsymbol{a}^T\\\boldsymbol{a}^T+\boldsymbol{b}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}^T-\boldsymbol{b}^T\\\boldsymbol{a}^T+\boldsymbol{b}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}^T-\boldsymbol{b}^T\\2\boldsymbol{a}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}^T-\boldsymbol{b}^T\\\boldsymbol{a}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍加变换}}\begin{bmatrix}-\boldsymbol{b}^T\\\boldsymbol{a}^T\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{倍乘变换}}\begin{bmatrix}\boldsymbol{b}^T\\\boldsymbol{a}^T\end{bmatrix}.

1.3.15

证明 对于一个阶梯形矩阵，通过倍乘行变换将主元化为 1，再通过倍加行变换使其上方元素全部化为 0，就将这个阶梯形矩阵化为了行简化阶梯阵. 据定理 1.3.7.1，可知任意矩阵都可以用初等行变换化为行简化阶梯阵.

1.3.16

不妨将每三行看作一组. 同一组内的对换行变换，或者两个组整体之间的对换行变换，变换后还是数独矩阵. 对于列也有类似的性质.

1.3.17

  1. [2154][xy]=[36]\begin{bmatrix}2&1\\5&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}. 做了对换列变换.
  2. [2285][xy]=[36]\begin{bmatrix}2&2\\8&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}. 做了倍乘列变换.
  3. [3295][xy]=[36]\begin{bmatrix}3&2\\9&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}. 做了倍加列变换.
  4. [1245][xy]=[22]\begin{bmatrix}1&2\\4&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}. 系数矩阵没有做任何变换.

1.3.18

  1. 证明 因为 [abc]\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} 是平面法向量，显然有 [abc]p=ap1+bp2+cp3=[abc]⋅p=0\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\boldsymbol{p}=ap_1+bp_2+cp_3=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\cdot\boldsymbol{p}=0. 同理，[abc]q=0\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\boldsymbol{q}=0，所以 [abc]p=[abc]q\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\boldsymbol{p}=\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\boldsymbol{q}.
  2. 证明 不妨设 p=[xyz]\boldsymbol{p}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}，那么线性方程 [abc][xyz]=d\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=d 的解集即所有的 p\boldsymbol{p} 构成的点空间，也就是这个平面. 这个线性方程等价于 ax+by+cz=dax+by+cz=d，故平面即该方程的解集.
  3. 证明 这两个平面的法向量分别为 [a1b1c1]\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix} 和 [a2b2c2]\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}. 既然两个解集平面平行，那么这两个法向量显然共线，即，这两个方程的系数之间可以互相进行线性表示.
  4. 证明 依原方程构造增广矩阵 [a1b1c1d1a2b2c2d2]\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\end{bmatrix}，\text{倍加变换}后则有 [a1b1c1d1a1+a2b1+b2c1+c2d1+d2]\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_1+a_2&b_1+b_2&c_1+c_2&d_1+d_2\end{bmatrix}. 根据解线性方程的方法，这两个增广矩阵的行简化阶梯阵是相同的，所以解集相同，因此 a1x+b1y+c1z=d1a_1x+b_1y+c_1z=d_1，(a1+a2)x+(b1+b2)y+(c1+c2)z=d1+d2(a_1+a_2)x+(b_1+b_2)y+(c_1+c_2)z=d_1+d_2 的解集平面的交集还是直线 ll.

1.3.19

  1. 列方程得 [2535−25−35][l1l2]=[3−3]\begin{bmatrix}\cfrac{2}{5}&\cfrac{3}{5}\\-\cfrac{2}{5}&-\cfrac{3}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}，解集为 {[15−3t2t]∣t∈[0,5]}\{\begin{bmatrix}15-3t\\2t\end{bmatrix}|t\in[0,5]\}.
  2. 设鸡和兔的数量分别为 x,yx,y 只，有 [112420][xy]=[4128]\begin{bmatrix}1&1\\2&4\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\12\\8\end{bmatrix}. 这个方程组无解.
  3. 由题意列方程得 [101011000011][abcd]=[248]\begin{bmatrix}1&0&1&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\8\end{bmatrix}，解得 a=d−6,b=10−d,c=8−da=d-6,b=10-d,c=8-d，则 A=[d−610−d8−dd]A=\begin{bmatrix}d-6&10-d\\8-d&d\end{bmatrix}.
  4. 列方程得 [2−1−1−1][xy]=[35]\begin{bmatrix}2&-1\\-1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}，交点坐标 (23,133)(\cfrac{2}{3},\cfrac{13}{3}).
  5. 列方程得 [13512−3252][xyz]=[458]\begin{bmatrix}1&3&5\\1&2&-3\\2&5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\5\\8\end{bmatrix}，这个方程组无解.
  6. 列方程得 [110011][xyz]=[00]\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}，方程解集为 {[t0t]∣t∈R}\{\begin{bmatrix}t\\0\\t\end{bmatrix}|t\in\R\}.
  7. 列方程得 [10−1−11001−1][xyz]=[000]\begin{bmatrix}1&0&-1\\-1&1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}，方程组解集为 {[ttt]∣t∈R}\{\begin{bmatrix}t\\t\\t\end{bmatrix}|t\in\R\}.

1.3.20

不成立.

证明 我们不妨设 b=0\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}，AA 是任意一个矩阵，而 CC 是其行简化阶梯阵. 不难看到，若构造增广矩阵 [Ab]\begin{bmatrix}A&\boldsymbol{b}\end{bmatrix}，其行简化阶梯阵即 [Cb]\begin{bmatrix}C&\boldsymbol{b}\end{bmatrix}，根据线性方程组的求解方法知道这两者有着相同的解集，但显然 A≠CA\not ={C}.

1.3.21

都不可能.

证明 当 n>mn>m 时，可以将 F\boldsymbol{F} 表示为一个 m×nm\times n 的矩阵. 考虑陪域中的某个元素，构造增广矩阵，化为阶梯形后不难发现阶梯数小于未知量数量，因此有无穷多组解，说明 F\boldsymbol{F} 不是单射. 而当 n<mn<m 时，用类似的方法将 F\boldsymbol{F} 表示为一个 n×mn\times m 的矩阵，构造其增广矩阵而后化为阶梯形. 这个阶梯形矩阵的阶梯数要么和未知量个数相等，要么阶梯数比未知量数量多 1，而这意味着有无解的情况存在，即 F\boldsymbol{F} 没有映满 Rm\R^m，所以不是满射.

  1. 1 线性映射和矩阵
    1. 1.3 线性方程组
      1. 1.3.1
      2. 1.3.2
      3. 1.3.3
      4. 1.3.4
      5. 1.3.5
      6. 1.3.6
      7. 1.3.7
      8. 1.3.8
      9. 1.3.9
      10. 1.3.10
      11. 1.3.11
      12. 1.3.12
      13. 1.3.13
      14. 1.3.14
      15. 1.3.15
      16. 1.3.16
      17. 1.3.17
      18. 1.3.18
      19. 1.3.19
      20. 1.3.20
      21. 1.3.21
  1. 1 线性映射和矩阵
    1. 1.3 线性方程组
      1. 1.3.1
      2. 1.3.2
      3. 1.3.3
      4. 1.3.4
      5. 1.3.5
      6. 1.3.6
      7. 1.3.7
      8. 1.3.8
      9. 1.3.9
      10. 1.3.10
      11. 1.3.11
      12. 1.3.12
      13. 1.3.13
      14. 1.3.14
      15. 1.3.15
      16. 1.3.16
      17. 1.3.17
      18. 1.3.18
      19. 1.3.19
      20. 1.3.20
      21. 1.3.21