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《线性代数入门》解题笔记 1.2
Yi Fan
  2024-02-07 11:56:08   2024-02-17 23:57:31  

《线性代数入门》，梁鑫等编著，清华大学出版社，2022 年.

1 线性映射和矩阵

1.2 线性映射的表示矩阵

1.2.1

  1. b=2[11]+4[01]+5[10]=[76]=[1101][16]\boldsymbol{b}=2\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix}.
  2. b=5[12345]+4[54321]=[2526272829]=[1000011000111001111011111][251111]\boldsymbol{b}=5\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}5\\4\\3\\2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25\\26\\27\\28\\29\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\1&1&1&1&0\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}25\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}.
  3. b=[2b+a+cc−ba+b+ca+b]=[1210−11111110][abc]\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}2b+a+c\\c-b\\a+b+c\\a+b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\0&-1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}.
  4. b=f([12345])=f([10000])+f([02000])+f([00300])+f([00040])+f([00005])=f(e1)+2f(e2)+3f(e3)+4f(e4)+5f(e5)=e5+4e4+9e3+16e2+25e1=[2516941]=[5000004000003000002000001][54321]\boldsymbol{b}=f(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{bmatrix})=f(\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix})+f(\begin{bmatrix}0\\2\\0\\0\\0\end{bmatrix})+f(\begin{bmatrix}0\\0\\3\\0\\0\end{bmatrix})+f(\begin{bmatrix}0\\0\\0\\4\\0\end{bmatrix})+f(\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\5\end{bmatrix})=f(e_1)+2f(e_2)+3f(e_3)+4f(e_4)+5f(e_5)=e_5+4e_4+9e_3+16e_2+25e_1=\begin{bmatrix}25\\16\\9\\4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\4\\3\\2\\1\end{bmatrix}.
  5. 根据题意可以写出 b=[0.80.30.20.7][0.50.5]\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.5\\0.5\end{bmatrix}.

1.2.2

  1. 是. [101111][13]=[111]+3[011]=[144]\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\\4\end{bmatrix}.
  2. 不是.
  3. 是. [1011][13]=[11]+3[01]=[14]\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}.
  4. 是. [100110111][135]=[111]+3[011]+5[001]=[149]\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\\9\end{bmatrix}.
  5. 是. [1000110011101111][1357]=[1111]+3[0111]+5[0011]+7[0001]=[14916]\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1\\1\\1\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}+7\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\\9\\16\end{bmatrix}.
  6. 是. [123456789][1−21]=[147]−2[258]+[369]=[000]\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}2\\5\\8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}.
  7. 是. [147258369][1−21]=[123]−2[456]+[789]=[000]\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}.
  8. 是. [110321743][1−1−1]=[137]−[124]−[013]=[000]\begin{bmatrix}1&1&0\\3&2&1\\7&4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\\1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}.
  9. 是. [137124013][1−1−1]=[110]−[321]−[743]=[−9−5−4]\begin{bmatrix}1&3&7\\1&2&4\\0&1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}7\\4\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-9\\-5\\-4\end{bmatrix}.
  10. 是. [137124013][2−31]=2[110]−3[321]+[743]=[000]\begin{bmatrix}1&3&7\\1&2&4\\0&1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-3\\1\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}7\\4\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}.

1.2.3

  1. 当 i=1i=1 时，u1=[0.80.30.20.7][10]=[0.80.2]u_1=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}，v1=[0.80.30.20.7][13]=[1.72.3]v_1=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.7\\2.3\end{bmatrix}.

    当 i=2i=2 时，u2=[0.80.30.20.7][0.80.2]=[0.70.3]u_2=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix}，v2=[0.80.30.20.7][1.72.3]=[2.051.95]v_2=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1.7\\2.3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.05\\1.95\end{bmatrix}.

    当 i=3i=3 时，u3=[0.80.30.20.7][0.70.3]=[0.650.35]u_3=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.65\\0.35\end{bmatrix}，v3=[0.80.30.20.7][2.051.95]=[2.2251.775]v_3=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2.05\\1.95\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.225\\1.775\end{bmatrix}.

    当 i=4i=4 时，u4=[0.80.30.20.7][0.650.35]=[0.6250.375]u_4=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.65\\0.35\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.625\\0.375\end{bmatrix}，v4=[0.80.30.20.7][2.2251.775]=[2.31251.6875]v_4=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2.225\\1.775\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.3125\\1.6875\end{bmatrix}.

  2. 不难猜测 lim⁡i→∞ui=[0.60.4]\lim\limits_{i\rightarrow\infin}u_i=\begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix}，lim⁡i→∞vi=[2.41.6]\lim\limits_{i\rightarrow\infin}v_i=\begin{bmatrix}2.4\\1.6\end{bmatrix}.

  3. 设 w0=[ab]w_0=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}，所以 w1=[0.80.30.20.7][ab]=[0.8a+0.3b0.2a+0.7b]w_1=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8a+0.3b\\0.2a+0.7b\end{bmatrix}，所以 w2=[0.80.30.20.7][0.8a+0.3b0.2a+0.7b]=[0.7a+0.45b0.3a+0.55b]w_2=\begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.8a+0.3b\\0.2a+0.7b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.7a+0.45b\\0.3a+0.55b\end{bmatrix}，不难从中猜测 lim⁡i→∞wi=[0.6a+0.6b0.4a+0.4b]\lim\limits_{i\rightarrow\infin}w_i=\begin{bmatrix}0.6a+0.6b\\0.4a+0.4b\end{bmatrix}. 它们都在直线 y=23xy=\cfrac{2}{3}x 上.

1.2.4

  1. 容易知道，[y1y2y3]=[x1x1+x2x1+x2+x3]\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_1+x_2\\x_1+x_2+x_3\end{bmatrix}，所以 y1=x1,y2=x1+x2,y3=x1+x2+x3y_1=x_1,y_2=x_1+x_2,y_3=x_1+x_2+x_3.
  2. x1=y1x_1=y_1，x2=y2−x1=y2−y1x_2=y_2-x_1=y_2-y_1，x3=y3−x1−x2=y3−y1−y2+y1=y3−y2x_3=y_3-x_1-x_2=y_3-y_1-y_2+y_1=y_3-y_2.
  3. 不难有 [100−1100−11][y1y2y3]=[x1x2x3]\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.
  4. 证明 显然有 g∘f([x1x2x3])=BA[x1x2x3]=B[y1y2y3]=[x1x2x3]g\circ f(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix})=BA\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=B\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}，同理 f∘g([y1y2y3])=[y1y2y3]f\circ g(\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}. 所以 f,gf,g 互为逆变换.

1.2.5

  1. [0001]\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.
  2. [123]\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}.
  3. [0−3230−1−210]\begin{bmatrix}0&-3&2\\3&0&-1\\-2&1&0\end{bmatrix}.
  4. [1000010000100101]\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\end{bmatrix}.
  5. [0001010000101000]\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}.
  6. 副对角线元素为 1，其余元素全是 0 的方阵.

1.2.6

  1. 可以表示为 [d−l1dd−l2dl1dl2d]\begin{bmatrix}\cfrac{d-l_1}{d}&\cfrac{d-l_2}{d}\\\cfrac{l_1}{d}&\cfrac{l_2}{d}\end{bmatrix}.

  2. 分析问题，先写出输出的力矩的向量，左端逆时针方向的力矩已经给出，类似地可以写出右端力矩 (d−l1)F1+(d−l2)F2−df1(d-l_1)F_1+(d-l_2)F_2-df_1. 对于中点，按照力矩分析的方法可知其力矩为：

    d2f2−d2f1+(d2−l1)F1+(d2−l2)F2\cfrac{d}{2}f_2-\cfrac{d}{2}f_1+(\cfrac{d}{2}-l_1)F_1+(\cfrac{d}{2}-l_2)F_2

    由此可得，ff 的表示矩阵为 [−l1−l20dd2−l1d2−l2−d2d2d−l1d−l2−d0]\begin{bmatrix}-l_1&-l_2&0&d\\\cfrac{d}{2}-l_1&\cfrac{d}{2}-l_2&-\cfrac{d}{2}&\cfrac{d}{2}\\d-l_1&d-l_2&-d&0\end{bmatrix}.

1.2.7

  1. 证明 不妨证明一个更一般的结论. 取线性变换 h,gh,g，h∘g(a+b)=h(g(a)+g(b))=h∘g(a)+h∘g(b)h\circ g(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=h(g(\boldsymbol{a})+g(\boldsymbol{b}))=h\circ g(\boldsymbol{a})+h\circ g(\boldsymbol{b})，h∘g(ka)=h(kg(a))=kh∘g(a)h\circ g(k\boldsymbol{a})=h(kg(\boldsymbol{a}))=kh\circ g(\boldsymbol{a})，这表明任意两个线性变换的复合都是线性变换. 因而 ff 是线性变换.

  2. f(e1)=[0−1−10][1201][32−121232][10]=[−12−1−32]f(e_1)=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cfrac{\sqrt{3}}{2}&-\cfrac{1}{2}\\\cfrac{1}{2}&\cfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cfrac{1}{2}\\-1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}.

    f(e2)=[0−1−10][1201][32−121232][01]=[−3212−3]f(e_2)=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cfrac{\sqrt{3}}{2}&-\cfrac{1}{2}\\\cfrac{1}{2}&\cfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\\cfrac{1}{2}-\sqrt{3}\end{bmatrix}.

  3. 由第 2 小题可知，ff 的表示矩阵为 [−12−32−1−3212−3]\begin{bmatrix}-\cfrac{1}{2}&-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\-1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}&\cfrac{1}{2}-\sqrt{3}\end{bmatrix}.

  4. f([34])=[−12−32−1−3212−3][34]=[−32−23−1132−1]f(\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}-\cfrac{1}{2}&-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\\-1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}&\cfrac{1}{2}-\sqrt{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cfrac{3}{2}-2\sqrt{3}\\-\cfrac{11\sqrt{3}}{2}-1\end{bmatrix}.

1.2.8

  1. 根据幻方矩阵的性质，M[111]M\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} 只有可能为 [151515]\begin{bmatrix}15\\15\\15\end{bmatrix}.
  2. 根据数独矩阵的性质，M[1⋮1]M\begin{bmatrix}1\\\vdots\\1\end{bmatrix} 只有可能为 [45⋮45]\begin{bmatrix}45\\\vdots\\45\end{bmatrix}.

1.2.9

证明 不妨假设 AA 中有一个元素 aij≠0a_{ij}\not ={0}，只需让 xj=1x_j=1，就有 Ax≠0A\boldsymbol{x}\not ={0}，因此，AA 中不能出现非零元素.

1.2.10

证明 根据题意不难列出方程 ai1x1+ai2x2+⋯+ainxn=c(x)xia_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots +a{in}x_n=c(\boldsymbol{x})x_i，显然有 aiixi=c(x)xia_{ii}x_i=c(\boldsymbol{x})x_i 即 aii=c(x)a_{ii}=c(\boldsymbol{x})，因此，AA 可以表示为 [c(x)⋯0⋮⋱⋮0⋯c(x)]=c(x)In\begin{bmatrix}c(\boldsymbol{x})&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&c(\boldsymbol{x})\end{bmatrix}=c(\boldsymbol{x})I_n. 我们知道 c(x)c(\boldsymbol{x}) 是一个常数，因此，存在常数 cc 使得 A=cInA=cI_n.

  1. 1 线性映射和矩阵
    1. 1.2 线性映射的表示矩阵
      1. 1.2.1
      2. 1.2.2
      3. 1.2.3
      4. 1.2.4
      5. 1.2.5
      6. 1.2.6
      7. 1.2.7
      8. 1.2.8
      9. 1.2.9
      10. 1.2.10
  1. 1 线性映射和矩阵
    1. 1.2 线性映射的表示矩阵
      1. 1.2.1
      2. 1.2.2
      3. 1.2.3
      4. 1.2.4
      5. 1.2.5
      6. 1.2.6
      7. 1.2.7
      8. 1.2.8
      9. 1.2.9
      10. 1.2.10